Συνέχεια σήμερα για τα Γενικά Λύκεια στις Πανελλήνιες – Στα θέματα Αρχαίων Ελληνικών (Ομάδα Προσανατολισμού Ανθρωπιστικών Σπουδών) και στα θέματα Μαθηματικών (Ομάδες Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής) διαγωνίζονται σήμερα Τετάρτη 17/06 οι υποψήφιοι των πανελληνίων εξετάσεων 2020
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΕΤΑΡΤΗ 17 ΙΟΥΝΙΟΥ 2020 – ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:
ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΠΤΑ (7)
Α. ΔΙΔΑΓΜΕΝΟ ΚΕΙΜΕΝΟ
Πλάτων, Πολιτεία 518b-519a
Δεῖ δή, εἶπον, ἡμᾶς τοιόνδε νομίσαι περὶ αὐτῶν, εἰ ταῦτ’,
ἀληθῆ· τὴν παιδείαν οὐχ οἵαν τινὲς ἐπαγγελλόμενοί φασιν εἶναι
τοιαύτην καὶ εἶναι. Φασὶ δέ που οὐκ ἐνούσης ἐν τῇ ψυχῇ ἐπιστήμης
σφεῖς ἐντιθέναι, οἷον τυφλοῖς ὀφθαλμοῖς ὄψιν ἐντιθέντες.
Φασὶ γὰρ οὖν, ἔφη.
Ὁ δέ γε νῦν λόγος, ἦν δ’ ἐγώ, σημαίνει ταύτην τὴν ἐνοῦσαν
ἑκάστου δύναμιν ἐν τῇ ψυχῇ καὶ τὸ ὄργανον ᾧ καταμανθάνει
ἕκαστος, οἷον εἰ ὄμμα μὴ δυνατὸν ἦν ἄλλως ἢ σὺν ὅλῳ τῷ σώματι
στρέφειν πρὸς τὸ φανὸν ἐκ τοῦ σκοτώδους, οὕτω σὺν ὅλῃ τῇ ψυχῇ
ἐκ τοῦ γιγνομένου περιακτέον εἶναι, ἕως ἂν εἰς τὸ ὂν καὶ τοῦ ὄντος
τὸ φανότατον δυνατὴ γένηται ἀνασχέσθαι θεωμένη· τοῦτο δ’ εἶναί
φαμεν τἀγαθόν. Ἦ γάρ;
Ναί.
Τούτου τοίνυν, ἦν δ’ ἐγώ, αὐτοῦ τέχνη ἂν εἴη, τῆς περιαγωγῆς,
τίνα τρόπον ὡς ῥᾷστα τε καὶ ἀνυσιμώτατα μεταστραφήσεται, οὐ τοῦ
ἐμποιῆσαι αὐτῷ τὸ ὁρᾶν, ἀλλ’ ὡς ἔχοντι μὲν αὐτό, οὐκ ὀρθῶς δὲ
τετραμμένῳ οὐδὲ βλέποντι οἷ ἔδει, τοῦτο διαμηχανήσασθαι.
Ἔοικεν γάρ, ἔφη.
Αἱ μὲν τοίνυν ἄλλαι ἀρεταὶ καλούμεναι ψυχῆς κινδυνεύ ουσιν
ἐγγύς τι εἶναι τῶν τοῦ σώματος –τῷ ὄντι γὰρ οὐκ ἐνοῦσαι πρότερον
ὕστερον ἐμποιεῖσθαι ἔθεσι καὶ ἀσκήσεσιν – ἡ δὲ τοῦ φρονῆσαι
παντὸς μᾶλλον θειοτέρου τινὸς τυγχάνει, ὡς ἔοικεν, οὖσα, ὃ τὴν μὲν
δύναμιν οὐδέποτε ἀπόλλυσιν, ὑπὸ δὲ τῆς περιαγωγῆς χρήσιμόν τε
καὶ ὠφέλιμον καὶ ἄχρηστον αὖ καὶ βλαβερὸν γίγνεται.
ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ – ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ
ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 7 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΝΕΟ
Α1.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό που αντιστοιχεί
σε καθεμιά από τις παρακάτω περιόδους
λόγου και δίπλα σε αυτόν τη λέξη «Σωστό», αν είναι
σωστή, ή τη λέξη «Λάθος», αν είναι λανθασμένη, με βάση
το αρχαίο κείμενο (μονάδες 3) και να τεκμηριώσετε κάθε
απάντησή σας γράφοντας τις λέξεις/φράσεις του αρχαίου
κειμένου που την επιβεβαιώνουν (μονάδες 3):
1. Η φρόνηση ως αρετή της ψυχής καλλιεργείται με τον
εθισμό και την άσκηση.
2. Η αρετή της φρόνησης αποβαίνει πάντα ωφέλιμη για τον
άνθρωπο.
3. Η τέχνη της παιδείας στρέφει την ψυχή στην ορθή
κατεύθυνση.
(μονάδες 6)
β. 1. «σφεῖς ἐντιθέναι…»: Σε ποια λέξη του αρχαίου κειμένου
αναφέρεται η αντωνυμία «σφεῖς»;
2. «ᾧ καταμανθάνει ἕκαστος»: Σε ποια λέξη του αρχαίου
κειμένου αναφέρεται η αντωνυμία «ᾧ»; (μονάδες 4)
Μονάδες 10
Β1. «εἰς τὸ ὄν καὶ τοῦ ὄντος τὸ φανότατον», «τῆς περιαγωγῆς»:
Αξιοποιώντας τους παραπάνω όρους του κειμένου να
εξηγήσετε πώς αντιλαμβάνεται ο Σωκράτης την έννοια της
παιδείας.
Μονάδες 10
Β2. «Φασὶ δέ που οὐκ ἐνούσης ἐν τῇ ψυχῇ ἐπιστήμης σφεῖς
ἐντιθέναι, οἷον τυφλοῖς ὀφθαλμοῖς ὄψιν ἐντιθέντες»: Ποια
άποψη διατυπώνει ο Σωκράτης στο χωρίο (μονάδες 4) και
πώς αυτή ενισχύεται από την επανάληψη της πρόθεσης « ἐν»
και την αναλογία / παρομοίωση που χρησιμοποιεί;
(μονάδες 6)
Μονάδες 10
Β3. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό που αντιστοιχεί σε
καθεμιά από τις φράσεις της Στήλης Α του παρακάτω πίνακα
και δίπλα σε αυτόν το γράμμα της λέξης ή φράσης από τη
Στήλη Β που συμπληρώνει ορθά το νόημά της.
ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ – ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ
ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 7 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΝΕΟ
Στήλη Α Στήλη Β
1. Η κατηγορία που είχε
μεγαλύτερη σχέση με την
πραγματική αιτία δίωξης του
Σωκράτη ήταν
α. η διαφθορά των νέων.
β. η αθεΐα.
γ. οι δημοκρατικές του
αντιλήψεις.
2. Ο Πλάτων στο πρώτο του
ταξίδι στη Σικελία
α. δίδαξε φιλοσοφία στον
Δίωνα.
β. γνώρισε τον φιλόσοφο
Ευκλείδη.
γ. ήρθε σε επαφή με τον
Πυθαγορισμό.
3. Οι φιλόσοφοι βασιλείς
αναλαμβάνουν την εξουσία
α. λόγω της αριστοκρατικής /
ευγενικής καταγωγής τους.
β. από αίσθηση καθήκοντος.
γ. από ηγετική φιλοδοξία.
4. Οι πρώιμοι διάλογοι του
Πλάτωνα γράφτηκαν
α. μετά το τελευταίο ταξίδι
στη Σικελία.
β. κατά την πρώτη δεκαετία
μετά τον θάνατο του
Σωκράτη.
γ. πριν τον θάνατο του
Σωκράτη.
5. Η θέση ότι η δικαιοσύνη
είναι να αποδίδεις τα ίσα,
καλό στον φίλο, κακό στον
εχθρό, υποστηρίχθηκε από
α. τον Θρασύμαχο.
β. τον Κέφαλο.
γ. τον Πολέμαρχο.
Μονάδες 10
Β4.α. Να αντιστοιχίσετε στο τετράδιό σας καθεμιά αρχαία
ελληνική λέξη της Στήλης Α με την ετυμολογικά συγγενή
της νεοελληνική λέξη της Στήλης Β (στη Στήλη Β
περισσεύουν δύο λέξεις).
ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ – ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ
ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 7 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΝΕΟ
Στήλη Α Στήλη Β
φανόν απώλεια
ἀνασχέσθαι τρυφερός
περιακτέον ανατροπή
τετραμμένῳ ανακωχή
ἐντιθέντες απόλυση
ἀπόλλυσι φάσμα
παρακαταθήκη
άξονας
(μονάδες 6)
Β4.β. Για καθεμιά από τις δύο παρακάτω λέξεις να γράψετε μία
περίοδο λόγου στα νέα ελληνικά, όπου η ίδια λέξη, σε
οποιαδήποτε μορφή της (μέρος του λόγου, πτώση, αριθμό,
γένος, έγκλιση, χρόνο), χρησιμοποιείται με διαφορετική
σημασία από αυτήν που έχει στο αρχαίο κείμενο:
«ἐπαγγελλόμενοι», «ἐπιστήμης». (μονάδες 4)
Μονάδες 10
Β5. ΠΑΡΑΛΛΗΛΟ ΚΕΙΜΕΝΟ
Ο Ε.Π. Παπανούτσος μεταφέρει, στο παρακάτω απόσπασμα,
τις απόψεις του Α. Δελμούζου για την παιδεία.
Η παιδεία είναι ένα από τα πιο σπουδαία μέσα για την ατομική
και τη συνολική προκοπή. Σκοπός της να υπηρετήσει και να κάμει
καλύτερη τη ζωή του ανθρώπου.
Γίνεται καλύτερη η ζωή του ανθρώπου όσο περισσότερο
δουλεύεται η ψυχή του και όσο βαθύτερα ποτίζεται με την αγάπη
και την καλοσύνη. Καλύτερη, στο βάθος, θα ειπεί πιο
καλλιεργημένη, πιο ηθική και πιο ελεύθερη.
Η ψυχική όμως καλλιέργεια και η ελευθερία δεν έρχονται
έτοιμα απ’ έξω, παρά είναι καρπός που ωριμάζει μέσα μας ολοένα
και περισσότερο με αδιάκοπη ατομική προσπάθεια. Με προσπάθ εια
και δοκιμασία λυτρώνεται με τον καιρό το άτομο από το βάρος της
ύλης και υψώνεται σκαλί το σκαλί προς τον ελεύθερο άνθρωπο.
Στο ιδανικό αυτό μπορεί να πλησιάσει άλλος λιγότερο και
άλλος περισσότερο, ανάλογα με τη δύναμή του. Και θα το πλησιάσει
πάντα με τη δική του ιδιότυπη μορφή, τη μορφή που πηγάζει και
ορίζεται από τα διαλεχτά και γόνιμα στοιχεία που κλείνει μέσα του.
Όσο περισσότερο δουλεύει ο καθένας τα στοιχεία του αυτά, τόσο
πιο πολύ υψώνεται στο ιδανικό εγώ του.
Ε.Π. Παπανούτσος, Α. Δελμούζος, (έκδ. Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής
Τραπέζης), σελ. 201
ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ – ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ
ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΑΠΟ 7 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΝΕΟ
Να παρουσιάσετε δύο (2) από τις απόψεις του Α. Δελμούζου
σχετικά με τον σκοπό της παιδείας που εμφανίζουν ομοιότητες με
τις αντίστοιχες πλατωνικές απόψεις του διδαγμένου κειμένου.
Μονάδες 10
Γ. ΑΔΙΔΑΚΤΟ ΚΕΙΜΕΝΟ
Ξενοφών, Πόροι V, 11-13, (OXFORD CLASSICAL TEXTS)
Στο παρακάτω απόσπασμα του διδακτικού έργου «Πόροι ἢ
περί προσόδων» ο Ξενοφών συνδέει την οικονομική ευημερία
της Αθήνας με τα αγαθά της ειρήνης .
εἰ δέ τις αὖ εἰς χρήματα κερδαλεώτερον νομίζει εἶναι τῇ πόλει
πόλεμον ἢ εἰρήνην, ἐγὼ μὲν οὐκ οἶδα πῶς ἂν ἄμεινον ταῦτα κριθείη
ἢ εἴ τις τὰ προγεγενημένα ἐπανασκοποίη τῇ πόλει πῶς ἀποβέβηκεν.
εὑρήσει γὰρ τό τε παλαιὸν ἐν εἰρήνῃ μὲν πάνυ πολλὰ χρήματα εἰς
τὴν πόλιν ἀνενεχθέντα, ἐν πολέμῳ δὲ πάντα ταῦτα
καταδαπανηθέντα· γνώσεται δ’, ἢν σκοπῇ, καὶ ἐν τῷ νῦν χρόνῳ διὰ
μὲν τὸν πόλεμον καὶ τῶν προσόδων πολλὰς ἐκλιπούσας καὶ τὰς
εἰσελθούσας εἰς παντοδαπὰ [πολλὰ] καταδαπανηθείσας, ἐπεὶ δὲ
εἰρήνη κατὰ θάλατταν γεγένηται, ηὐξημένας τε τὰς προσόδους, καὶ
ταύταις ἐξὸν τοῖς πολίταις χρῆσθαι ὅ τι βούλονται. εἰ δέ τίς με
ἐπερωτῴη· Ἦ καί, ἂν τις ἀδικῇ τὴν πόλιν, λέγεις ὡς χρὴ καὶ πρὸς
τοῦτον εἰρήνην ἄγειν; οὔκ ἂν φαίην· ἀλλὰ μᾶλλον λέγω ὅτι πολὺ
θᾶττον ἂν τιμωροίμεθα αὐτούς, εἰ μηδένα ὑπάρχοιμεν ἀδικοῦντες·
οὐδένα γὰρ ἂν ἔχοιεν σύμμαχον.
Γ1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τη μετάφραση του παρακάτω
αποσπάσματος: «εἰ δέ τίς με ἐπερωτῴη· … ἂν ἔχοιεν
σύμμαχον».
Μονάδες 10
Γ2. Με βάση το αδίδακτο κείμενο, ποια είναι τα πλεονεκτήματα
της ειρήνης και ποια τα μειονεκτήματα του πολέμου;
Μονάδες 10
Γ3.α. «πολλὰς ἐκλιπούσας καὶ τὰς εἰσελθούσας εἰς παντοδαπὰ
[πολλὰ] καταδαπανηθείσας» να μετατρέψετε τις μετοχές του
ΑΡΧΗ 6ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ – ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ
ΤΕΛΟΣ 6ΗΣ ΑΠΟ 7 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΝΕΟ
αποσπάσματος σε β΄ ενικό πρόσωπο της οριστικής
παρατατικού στην ίδια φωνή που βρίσκονται. (μονάδες 3)
β. Για τα επιρρήματα του αποσπάσματος «ἀλλὰ μᾶλλον λέγω
ὅτι πολὺ θᾶττον ἂν τιμωροίμεθα αὐτούς» που βρίσκονται
στο συγκριτικό βαθμό, να γράψετε τους άλλους δύο
βαθμούς. (μονάδες 4)
γ. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον τύπο που ζητείται για
καθεμία από τις παρακάτω λέξεις:
τις : τη δοτική πληθυντικού
προσόδους : την ονομαστική πληθυντικού
πολίταις : την κλητική ενικού
(μονάδες 3)
Μονάδες 10
Γ4.α. Να χαρακτηρίσετε συντακτικά τούς όρους: ἤ εἰρήνην, ταῦτα
(το πρώτο του κειμένου), τῶν προσόδων, ἄγειν. (μονάδες 4)
β. Να χαρακτηρίσετε συντακτικά τη μετοχή ἀνενεχθέντα και
να δικαιολογήσετε τον χαρακτηρισμό της. (μονάδες 2)
γ. «πῶς ἂν ἄμεινον ταῦτα κριθείη», «ὡς χρὴ καὶ πρὸς τοῦτον
εἰρήνην ἄγειν»: Να χαρακτηρίσετε το είδος των προτάσεων
και να επισημάνετε τον συντακτικό τους ρόλο. (μονάδες 4)
Μονάδες 10
ΑΡΧΗ 7ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ – ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ
ΤΕΛΟΣ 7ΗΣ ΑΠΟ 7 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΝΕΟ
ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους)
1. Στο εξώφυλλο να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα. Στο εσώφυλλο
πάνω-πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά σας στοιχεία. Στην αρχή
των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία και το
εξεταζόμενο μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και
να μη γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας.
2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των
φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας
πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά
την αποχώρησή σας, να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα
φωτοαντίγραφα.
3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή
μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει.
4. Κάθε απάντηση τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή.
5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των
φωτοαντιγράφων.
6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 10.00 π.μ.
ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ – ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ & ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ
ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΝΕΟ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ & ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ
ΤΕΤΑΡΤΗ 17 ΙΟΥΝΙΟΥ 2020
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)
ΘΕΜΑ Α
A1. Έστω μια συνάρτηση
f
, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό
διάστημα
[α, β]. Αν
η
f
είναι συνεχής στο
[α, β]
και
f(α) f(β),
να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό
η
μεταξύ των
f(α)
και
f(β)
υπάρχει
ένας τουλάχιστον
o
x (α, β)
τέτοιος, ώστε
o
f(x ) η.
Μονάδες 7
A2. Πότε μια συνάρτηση
f
είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα
[α, β]
του πεδίου ορισμού της;
Μονάδες 4
A3. Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό:
«Για κάθε συνάρτηση
f , ορισμένη, παραγωγίσιμη και γνησίως αύξουσα
στο , ισχύει
f (x) 0
».
α) Να χαρακτηρίσετε τον ισχυρισμό, γράφοντας στο τετράδιό σας το
γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής.
(μονάδα 1)
β) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα α).
(μονάδες 3)
Μονάδες 4
A4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο
τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη
λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι
λανθασμένη.
α)
2v 1 x 0
1
lim
x
, για κάθε
v .
β) Αν
f, g
είναι δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού
A
και
B,
αντίστοιχα, τότε η
g f
ορίζεται, αν
f(A) B .
γ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης
f(x) | x |, x
έχει
άξονα συμμετρίας τον
yy .
δ) Η εικόνα
f( )
ενός διαστήματος μέσω μιας συνεχούς και μη
σταθερής συνάρτησης είναι πάντα διάστημα.
ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ – ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ & ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ
ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΝΕΟ
ε) Δίνεται ότι η συνάρτηση
f
παραγωγίζεται στο και ότι η γραφική
της παράσταση είναι πάνω από τον άξονα
xx . Αν υπάρχει κάποιο
σημείο
A (x , f(x )) o o
της
Cf
, του οποίου η απόσταση από τον άξονα
xx
είναι μέγιστη (ή ελάχιστη), τότε σε αυτό το σημείο η
εφαπτομένη της
Cf
είναι οριζόντια.
Μονάδες 10
ΘΕΜΑ Β
Δίνονται οι συναρτήσεις:
f : (1, ) , με τύπο
x 2 f(x)
x 1
και
g:
, με τύπο
x
g(x) e .
B1. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση
f g.
Μονάδες 5
B2. Αν
x
x
e 2 (f g)(x)
e 1
, με
x 0
, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
f g
είναι
‘1-1’ και να βρείτε την αντίστροφή της.
Μονάδες 8
B3. Αν
1 x 2 (x) (f g) (x) n
x 1
, με
x 1
, να μελετήσετε τη συνάρτηση
φ
ως προς τη μονοτονία.
Μονάδες 6
B4. Αν
φ
είναι η συνάρτηση του ερωτήματος Β3, να βρεθούν τα όρια
x 1
lim φ(x) και
x
lim φ(x) .
Μονάδες 6
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση
1
n , x 0
1 x f(x)
3π
ημx + συνx , 0 x
2
, με
0 .
Γ1. Να αποδείξετε ότι
1 .
Μονάδες 5
ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ – ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ & ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ
ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΝΕΟ
Γ2. Να αποδείξετε ότι ορίζεται εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της
f
στο σημείο
A (0, 1)
, η οποία σχηματίζει με τον άξονα
xx
γωνία ίση
με
π
4
.
Μονάδες 6
Γ3. Να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης
f .
Μονάδες 6
Γ4. Ένα σημείο
M( , f( )), με
0 , κινείται στη γραφική παράσταση της
f .
Ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του σημείου
M
δίνεται από τον τύπο
(t) (t)
3
.
Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της
f
στο
M
τέμνει τον άξονα
xx
στο σημείο
B
. Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της τετμημένης του
σημείου
B
τη χρονική στιγμή
o
t
, κατά την οποία το σημείο
M
έχει
τετμημένη
1.
Μονάδες 8
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται η συνάρτηση
f :
με τύπο
x 2 f(x) e x e x 1.
Δ1. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό
o
x (0, 1), στο οποίο η
f
παρουσιάζει ολικό ελάχιστο. Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι
2
o o o f(x ) x (e 2) x e 1.
Μονάδες 7
Δ2. Να υπολογίσετε το όριο
o
o o
x x
1 1 lim ημ
f(x) f(x ) x x
,
όπου
o
x
το σημείο του ερωτήματος Δ1 που η
f
παρουσιάζει ολικό
ελάχιστο.
Μονάδες 6
Δ3. Αν
o
x
είναι το σημείο του ερωτήματος Δ1 που η
f
παρουσιάζει ολικό
ελάχιστο, να αποδείξετε ότι η εξίσωση
o
f(x) x x
για
o
x (x ,1)
έχει
μοναδική ρίζα
ρ .
Μονάδες 5
Δ4. Αν
o
x
είναι το σημείο του ερωτήματος Δ1 που η
f
παρουσιάζει ολικό
ελάχιστο και
ρ
είναι η ρίζα της εξίσωσης του ερωτήματος Δ3, να
αποδείξετε ότι
o
f(x ) f(ρ) ( f (k) 1)
για κάθε
k (ρ, 1).
Μονάδες 7
ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ – ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ & ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ
ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΝΕΟ
ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους)
1. Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα. Στο
εσώφυλλο πάνω-πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά στοιχεία μαθητή.
Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία
και το εξεταζόμενο μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο
και να μη γράψετε πουθενά αλλού στο τετράδιό σας το όνομά σας.
2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων
αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν
θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να
παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα.
3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο
με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει. Μολύβι επιτρέπεται, μόνο αν το
ζητάει η εκφώνηση, και μόνο για πίνακες, διαγράμματα κ.λπ.
4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή.
5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων.
6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 10. 00 π.μ.
ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ
2. Πανελλαδικώς εξεταζόμενα μαθήματα των ημερησίων και εσπερινών ΓΕΛ με το παλαιό σύστημα.
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ΄ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΕΤΑΡΤΗ 17 ΙΟΥΝΙΟΥ 2020 – ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:
ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5)
Α. ∆Ι∆ΑΓΜΕΝΟ ΚΕΙΜΕΝΟ
Αριστοτέλης, Ηθικά Νικομάχεια Β1,5-7, B6, 9-10
Μαρτυρεῖ δὲ καὶ τὸ γινόμενον ἐν ταῖς πόλεσιν· οἱ γὰρ νομοθέται
τοὺς πολίτας ἐθίζοντες ποιοῦσιν ἀγαθούς, καὶ τὸ μὲν βούλημα
παντὸς νομοθέτου τοῦτ’ ἐστίν, ὅσοι δὲ μὴ εὖ αὐτὸ ποιοῦσιν
ἁμαρτάνουσιν, καὶ διαφέρει τούτῳ πολιτεία πολιτείας ἀγαθὴ
φαύλης. Ἔτι ἐκ τῶν αὐτῶν καὶ διὰ τῶν αὐτῶν καὶ γίνεται πᾶσα
ἀρετὴ καὶ φθείρεται, ὁμοίως δὲ καὶ τέχνη· ἐκ γὰρ τοῦ κιθαρίζειν καὶ
οἱ ἀγαθοὶ καὶ κακοὶ γίνονται κιθαρισταί. Ἀνάλογον δὲ καὶ
οἰκοδόμοι καὶ οἱ λοιποὶ πάντες· ἐκ μὲν γὰρ τοῦ εὖ οἰκοδομεῖν
ἀγαθοὶ οἰκοδόμοι ἔσονται, ἐκ δὲ τοῦ κακῶς κακοί. Εἰ γὰρ μὴ οὕτως
εἶχεν, οὐδὲν ἂν ἔδει τοῦ διδάξοντος, ἀλλὰ πάντες ἂν ἐγίνοντο
ἀγαθοὶ ἢ κακοί.
Ε ἰ δὴ πᾶσα ἐπιστήμη οὕτω τὸ ἔργον εὖ ἐπιτελεῖ, πρὸς τὸ μέσον
βλέπουσα καὶ εἰς τοῦτο ἄγουσα τὰ ἔργα (ὅθεν εἰώθασιν ἐπιλέγειν
τοῖς εὖ ἔχουσιν ἔργοις ὅτι οὔτ’ ἀφελεῖν ἔστιν οὔτε προσθεῖναι, ὡς
τῆς μὲν ὑπερβολῆς καὶ τῆς ἐλλείψεως φθειρούσης τὸ εὖ, τῆς δὲ
μεσότητος σῳζούσης, οἱ δ’ ἀγαθοὶ τεχνῖται, ὡς λέγομεν, πρὸς τοῦτο
βλέποντες ἐργάζονται), ἡ δ’ ἀρετὴ πάσης τέχνης ἀκριβεστέρα καὶ
ἀμείνων ἐστὶν ὥσπερ καὶ ἡ φύσις, τοῦ μέσου ἂν εἴη στοχαστική.
Λέγω δὲ τὴν ἠθικήν· αὕτη γάρ ἐστι περὶ πάθη καὶ πράξεις, ἐν δὲ
τούτοις ἔστιν ὑπερβολὴ καὶ ἔλλειψις καὶ τὸ μέσον.
ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ
ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ – ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ
ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ∆ΕΣ
ΠΑΛΑΙΟ
Α1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό που αντιστοιχεί
σε κάθε μία από τις παρακάτω περιόδους
λόγου και δίπλα σε αυτόν τη λέξη «Σωστό», αν είναι
σωστή, ή τη λέξη «Λάθος», αν είναι λανθασμένη, με βάση
το αρχαίο κείμενο:
1. Κάθε νομοθέτης διαμορφώνει αγαθούς πολίτες.
2. Η γένεση και η φθορά είναι παρόμοιες διαδικασίες στην
«ἀρετὴν» και στην «τέχνην».
3. Ο Αριστοτέλης θεωρούσε απαραίτητη την ύπαρξη του
δασκάλου για την απόκτηση της ηθικής αρετής.
4. Με τη λέξη «ἐπιστήμη» ο Αριστοτέλης εννοεί την καθαρά
πνευματική δραστηριότητα.
5. Η «ὑπερβολὴ» και η «ἔλλειψις» δεν παρατηρούνται στα
«πάθη».
Μονάδες 10
Β1. Ο Αριστοτέλης προβάλλει τον εθισμό ως τον κυριότερο τρόπο
απόκτησης της ηθικής αρετής. Με ποιες εκφραστικές επιλογές
το επιτυγχάνει; Να απαντήσετε με αναφορές στο πρωτότυπο
κείμενο που σας δόθηκε.
Μονάδες 10
Β2. «Εἰ δὴ πᾶσα ἐπιστήμη … ἂν εἴη στοχαστική»: Σε ποιο
συμπέρασμα οδηγείται ο Αριστοτέλης με τη σύγκριση
«ἀρετῆς» και «τέχνης»; Να τεκμηριώσετε την απάντησή σας.
Μονάδες 10
Β3. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα που αντιστοιχεί σε
κάθε μία από τις παρακάτω περιόδους λόγου και δίπλα σε
αυτό τη λέξη «Σωστό», αν είναι σωστή, ή τη λέξη «Λάθος»,
αν είναι λανθασμένη:
α. Ο Αριστοτέλης επιλέγει να φοιτήσει στην Ακαδημία γιατί
θαυμάζει τον Εύδοξο.
β. Η ψυχοσύνθεση του Αριστοτέλη ήταν κατά βάση ποιητική.
γ. Ο Αριστοτέλης κατηγορήθηκε ως φιλομακεδόνας.
δ. Η ηθική αρετή σχετίζεται με το «λόγον ἔχον μέρος» της
ψυχής.
ε. Η ευδαιμονία κατά τον Αριστοτέλη είναι ενέργεια ψυχής
και όχι κατάσταση.
Μονάδες 10
ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ
ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ – ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ
ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ∆ΕΣ
ΠΑΛΑΙΟ
Β4. Για κάθε μία από τις λέξεις που ακολουθούν να βρείτε μια
ετυμολογικά συγγενή στο κείμενο που σας δόθηκε: θέμα,
συνήθεια, ψυχοφθόρος, ανούσιος, ανεκτός, αβλεψία,
ασωτία, άρρητος, αφαίρεση, βολίδα.
Μονάδες 10
Β5.
ΠΑΡΑΛΛΗΛΟ ΚΕΙΜΕΝΟ
Πλάτων, Πρωταγόρας 324D
«∆ιότι, εάν μεν υπάρχει αυτό το ένα πράγμα και εάν αυτό το
πράγμα δεν είναι ούτε η οικοδομική ούτε η μεταλλουργία ούτε η
κεραμική, αλλά η δικαιοσύνη και η σωφροσύνη και το ὅσιον (και
αυτά τα ονομάζω όλα μαζί ἀνδρὸς ἀρετήν)· εάν υπάρχει λοιπόν
αυτό το πράγμα στο οποίο πρέπει να μετέχουν όλοι και σύμφωνα
με το οποίο πρέπει να ενεργεί κάθε άνδρας ξεχωριστά σε
περίπτωση που θέλει να μάθει ή να πράξει κάτι, και σε καμιά
περίπτωση χωρίς αυτό· και εάν, σε περίπτωση που κάποιος δεν
μετέχει σ’ αυτό, είτε παιδί είναι, είτε άνδρας είτε γυναίκα, πρέπει
να τον διδάσκουμε και να τον τιμωρούμε, μέχρι που, με την
τιμωρία, να βελτιωθεί· και εάν, σε διαφορετική περίπτωση, πρέπει
να εκδιώκουμε από την πόλη ή να σκοτώνουμε ως ανίατο όποιον
δεν υπακούει σε αυτό το πράγμα ακόμα και μετά τη διδασκαλία,
ακόμα και μετά την τιμωρία· εάν λοιπόν έτσι έχουν τα πράγματα,
και εάν, παρόλο που αυτή είναι η φύση των πραγμάτων, οι αγαθοί
άνδρες, ενώ μορφώνουν τους γιους τους σε όλα τα άλλα, αυτό δεν
τους το διδάσκουν, τότε σκέψου τι περίεργα πλάσματα είναι
αυτοί οι αγαθοί άνδρες! Ότι το πράγμα αυτό το θεωρούν διδακτό
και στο ιδιωτικό και στο δημόσιο επίπεδο, το αποδείξαμε ήδη.»
Αφού μελετήσετε το μεταφρασμένο απόσπασμα από τον
Πρωταγόρα του Πλάτωνα, να παρουσιάσετε τη διαφορά
αντίληψης, σχετικά με τη διδασκαλία της ηθικής αρετής, μεταξύ
αυτού και των Ηθικών Νικομαχείων του Αριστοτέλη.
Μονάδες 10
ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ
ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ – ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ
ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ∆ΕΣ
ΠΑΛΑΙΟ
Γ. Α∆Ι∆ΑΚΤΟ ΚΕΙΜΕΝΟ
Ξενοφών, Πόροι V, 11-13, (OXFORD CLASSICAL TEXTS)
Στο παρακάτω απόσπασμα του διδακτικού έργου «Πόροι ἢ
περί προσόδων» ο Ξενοφών συνδέει την οικονομική ευημερία
της Αθήνας με τα αγαθά της ειρήνης.
εἰ δέ τις αὖ εἰς χρήματα κερδαλεώτερον νομίζει εἶναι τῇ πόλει
πόλεμον ἢ εἰρήνην, ἐγὼ μὲν οὐκ οἶδα πῶς ἂν ἄμεινον ταῦτα κριθείη
ἢ εἴ τις τὰ προγεγενημένα ἐπανασκοποίη τῇ πόλει πῶς ἀποβέβηκεν.
εὑρήσει γὰρ τό τε παλαιὸν ἐν εἰρήνῃ μὲν πάνυ πολλὰ χρήματα εἰς
τὴν πόλιν ἀνενεχθέντα, ἐν πολέμῳ δὲ πάντα ταῦτα
καταδαπανηθέντα· γνώσεται δ’, ἢν σκοπῇ, καὶ ἐν τῷ νῦν χρόνῳ διὰ
μὲν τὸν πόλεμον καὶ τῶν προσόδων πολλὰς ἐκλιπούσας καὶ τὰς
εἰσελθούσας εἰς παντοδαπὰ [πολλὰ] καταδαπανηθείσας, ἐπεὶ δὲ
εἰρήνη κατὰ θάλατταν γεγένηται, ηὐξημένας τε τὰς προσόδους, καὶ
ταύταις ἐξὸν τοῖς πολίταις χρῆσθαι ὅ τι βούλονται. εἰ δέ τίς με
ἐπερωτῴη· Ἦ καί, ἂν τις ἀδικῇ τὴν πόλιν, λέγεις ὡς χρὴ καὶ πρὸς
τοῦτον εἰρήνην ἄγειν; οὔκ ἂν φαίην· ἀλλὰ μᾶλλον λέγω ὅτι πολὺ
θᾶττον ἂν τιμωροίμεθα αὐτούς, εἰ μηδένα ὑπάρχοιμεν ἀδικοῦντες·
οὐδένα γὰρ ἂν ἔχοιεν σύμμαχον.
Γ1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τη μετάφραση του παρακάτω
αποσπάσματος: «εἰ δέ τίς με ἐπερωτῴη· … ἂν ἔχοιεν σύμμαχον».
Μονάδες 10
Γ2. Με βάση το αδίδακτο κείμενο, ποια είναι τα πλεονεκτήματα
της ειρήνης και ποια τα μειονεκτήματα του πολέμου;
Μονάδες 10
Γ3.α. «πολλὰς ἐκλιπούσας καὶ τὰς εἰσελθούσας εἰς παντοδαπὰ
[πολλὰ] καταδαπανηθείσας»: οι μετοχές του αποσπάσματος
να μετατραπούν στο β΄ ενικό πρόσωπο της οριστικής
παρατατικού στην ίδια φωνή.
(μονάδες 3)
ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ
ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ – ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ
ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ∆ΕΣ
ΠΑΛΑΙΟ
β. Για τα επιρρήματα του αποσπάσματος «ἀλλὰ μᾶλλον λέγω
ὅτι πολὺ θᾶττον ἂν τιμωροίμεθα αὐτούς» που βρίσκονται στο
συγκριτικό βαθμό, να γράψετε τους άλλους δύο βαθμούς.
(μονάδες 4)
γ. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον τύπο που ζητείται για
καθεμία από τις παρακάτω λέξεις:
τις : τη δοτική πληθυντικού
προσόδους : την ονομαστική πληθυντικού
πολίταις : τη γενική ενικού
(μονάδες 3)
Μονάδες 10
Γ4.α. Να χαρακτηρίσετε συντακτικά τους όρους: «ἢ εἰρήνην»,
«ταῦτα» (το πρώτο του κειμένου), «τῶν προσόδων», «ἄγειν».
(μονάδες 4)
β. Να χαρακτηρίσετε συντακτικά τη μετοχή «ἀνενεχθέντα» και
να δικαιολογήσετε τον χαρακτηρισμό της.
(μονάδες 2)
γ. Να ξαναγράψετε το απόσπασμα «ἀλλὰ μᾶλλον … ὑπάρχοιμεν
ἀδικοῦντες·»: μετατρέποντας τον υποθετικό λόγο από
πλάγιο σε ευθύ (μονάδες 2) και από «απλή σκέψη του
λέγοντος» σε «αντίθετο του πραγματικού». (μονάδες 2)
Μονάδες 10
Ο∆ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους)
1. Στο εξώφυλλο να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα. Στο εσώφυλλο πάνωπάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά σας στοιχεία. Στην αρχή των
απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία και το
εξεταζόμενο μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να
μη γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας.
2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων
αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν
θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας, να
παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα.
3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με
μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει.
4. Κάθε απάντηση τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή.
5. ∆ιάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων.
6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 10.00 π.μ.
ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ.
ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
TETAΡΤΗ 17 ΙΟΥΝΙΟΥ 2020
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)
ΘΕΜΑ Α
A1. Aν οι συναρτήσεις
f , g
είναι παραγωγίσιμες στο
0
x,
να αποδείξετε ότι
η συνάρτηση
f g
είναι παραγωγίσιμη στο
0
x
και ισχύει
0 0 0 (f g) (x ) f (x ) g (x ).
Μονάδες 7
A2. Έστω
f
μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α και Α1 το σύνολο των
σημείων του Α στα οποία αυτή είναι παραγωγίσιμη. Πώς ορίζεται η
πρώτη παράγωγος της
f
;
Μονάδες 4
A3. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Bolzano.
Μονάδες 4
A4. Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό:
«Για κάθε συνάρτηση
f
με
0
x x
limf(x) 0, ισχύει ότι
0
x x
1
lim
f(x)
ή
0
x x
1
lim
f(x)
».
α) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό, γράφοντας στο
τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν
είναι ψευδής.
(μονάδα 1)
β) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα (α).
(μονάδες 3)
Μονάδες 4
A5. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο
τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη
λέξη ΣΩΣΤΟ, αν η πρόταση είναι σωστή, ή ΛΑΘΟΣ αν η πρόταση είναι
λανθασμένη.
α) Αν
0
x x
limf(x)
, τότε
f(x) 0
για κάθε
x
κοντά στο
0
x .
β) Αν μία συνάρτηση
f
είναι συνεχής στο [α,β], παραγωγίσιμη στο
(α,β) και
f΄(x) 0
για κάθε
x ( α, β)
, τότε
f(α) f(β).
ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΠΑΛΑΙΟ
γ) Για κάθε συνάρτηση
f
που είναι παραγωγίσιμη και γνησίως
αύξουσα στο , ισχύει
f΄(x) 0
για κάθε
x .
Μονάδες 6
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η συνάρτηση
3x 1 f(x)
x 3
, x {3}.
Β1. Να αποδείξετε ότι η
f
αντιστρέφεται στο {3}.
Μονάδες 5
B2. Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις
f
και
1
f
είναι ίσες.
Μονάδες 8
B3. Να αποδείξετε ότι
(f f)(x) x
για κάθε
x {3}.
Μονάδες 6
B4. Να υπολογίσετε το όριο
1
x
3
1
lim f(x) ημ
3x+1
.
Μονάδες 6
ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΠΑΛΑΙΟ
ΘΕΜΑ Γ
Ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ)
είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο με
κέντρο Ο και ακτίνα 1, όπως
φαίνεται στο σχήμα. Αν
είναι η
γωνία μεταξύ των ίσων πλευρών του
τριγώνου και
ˆ
, τότε:
Γ1. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν
του τριγώνου ΑΒΓ ως
συνάρτηση της γωνίας
είναι:
E( ) (1 ) , (0, ).
Μονάδες 5
Γ2. Να βρείτε την τιμή της γωνίας
(0, )
, για την οποία το
εμβαδόν του τριγώνου
μεγιστοποιείται.
Μονάδες 8
Γ3. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ακριβώς δυο γωνίες
1 ,
2 , με
1 2 ,
για
τις οποίες το εμβαδόν του τριγώνου ισούται με
3
4
.
Μονάδες 6
Γ4. Για τις γωνίες
1 ,
2
, του ερωτήματος Γ3, να αποδείξετε ότι υπάρχουν
1
,
2
(0, )
τέτοια, ώστε:
1 1 2 2 ΄( ) ΄( ).
3 3
Μονάδες 6
ΘΕΜΑ Δ
Δίνονται οι συναρτήσεις:
f(x) x nx n( x) , x (0, ) , (0, )
και
x
g(x) x , x (0, ).
Δ1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
f
παρουσιάζει ελάχιστο στο
x 1,
το
οποίο και να βρείτε. Στην συνέχεια, να βρείτε την ευθεία στην οποία
ανήκει το σημείο ακρότατου της
f , καθώς το
μεταβάλλεται στο
(0, ) .
Μονάδες 5
ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΠΑΛΑΙΟ
Δ2. Να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή του
0
για την οποία ισχύει
x
x x,
για κάθε x>0.
Μονάδες 5
Για τα ερωτήματα Δ3 και Δ4 θεωρήστε ότι
1.
Δ3. Να αποδείξετε ότι η ευθεία
y x
είναι η μοναδική εφαπτομένη της
γραφικής παράστασης
Cg
της g, η οποία διέρχεται από την αρχή των
αξόνων.
Μονάδες 6
Δ4. Θεωρούμε επιπλέον τη συνάρτηση
x
x , x 0 h(x)
1, x 0.
Να αποδείξετε ότι:
i. H h είναι συνεχής
(Μονάδες 3)
ii. Η εξίσωση
2 1
2020
1 0
x 3 2 g(t)dt (1 x) h(1 t)dt 0
έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0, 1).
(Μονάδες 6)
Μονάδες 9
ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους)
1. Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα. Στο εσώφυλλο
πάνω -πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά στοιχεία μαθητή. Στην αρχή των
απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο
μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μη γράψετε
πουθενά αλλού στο τετράδιό σας το όνομά σας.
2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφω ν αμέσως
μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα
βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε
μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα.
3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με
μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει. Μολύβι επιτρέπεται, μόνο αν το ζητάει η
εκφώνηση, και μόνο για πίνακες, διαγράμματα κ .λπ.
4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή.
5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων.
6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 10. 00 π.μ.
ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ
